Теорема Вейерштрасса о достижимости точной верхней (нижней) грани непрерывной функции.

Если $f(x)$ - непрерывна на $[a, b]$, то $$\exists{x_{1}, x_{2} \in [a,b]}\mathpunct{:}~~ f(x_{1}) = \sup f(x),~ f(x_{2}) = \inf f(x)$$

Пусть $M = \sup f(x)$, $x \in [a, b]$, тогда при $\varepsilon =\dfrac{1}{n}$: $$\exists{x_n}\mathpunct{:}~~ M -\dfrac{1}{n} \leq f(x_{n}) \leq M ~~~~~(*)$$ $\{x_{n}\} \subset [a,b] \implies \{x_{n}\}$ - ограничена $\implies$ по теореме Больцано-Вейерштрасса: ${} \exists{\{x_{n_{k}}\}}\mathpunct{:}~~ x_{n_{k}} \to x_{0} \in [a, b]$, тогда $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_{k}}) = f(x_{0})$ По лемме о 2-х милиционерах из $(*)$: $$\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = M \implies \forall{x_{n_{i}}}\mathpunct{:}~~ \lim_{i \to \infty} x_{n_{i}} = M \implies f(x_{0}) = M ~~~\square$$